正則条件付確率 - 数学、ときどき統計、ところによりＩＴ

条件付確率 $P(\cdot\,|\mathcal{G})(\omega)$ について、それが確率測度になるか否かは自明ではありません。実際、 $A_{1}\cap A_{2}=\emptyset$ を満たす集合 $A_{1}$ , $A_{2}\in\mathcal{F}$ に対して適当な零集合 $N_{A_{1},A_{2}}$ が存在し

\begin{equation}P(A_{1}|\mathcal{G})(\omega)+P(A_{2}|\mathcal{G})(\omega)=P(A_{1}\cup A_{2}|\mathcal{G})(\omega),\quad\omega\in\Omega\setminus N_{A_{1},A_{2}}\label{eq:RCP:introduction}\end{equation}が成り立ちますが、もし $P(\cdot\,|\mathcal{G})(\omega)$ が $\mathcal{F}$ 上の確率測度であるならば、任意の $A_{1}$ , $A_{2}\in\mathcal{F}$ に対して $\omega$ は \eqref{eq:RCP:introduction}を満たす、つまり

\begin{equation*} \omega \in \Omega \setminus N,\quad N:=\bigcup_{A_{1},A_{2}\in\mathcal{F};A_{1}\cap A_{2}=\emptyset}N_{A_{1},A_{2}} \end{equation*} でなければなりません。しかし $\mathcal{F}$ が非可算の場合、 $N$ が零集合になるとは限りません。それどころか、そのような $\omega$ は存在しないかもしれません。

今回はこの問題について考えることにします。

定義　 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ を確率空間、 $\mathcal{G}$ を $\mathcal{F}$ の部分 $\sigma$ -加法族とする。写像 $p:\Omega\times\mathcal{F}\to[0,1$ ] が次の3条件を満たすとする：

殆ど全ての $\omega\in\Omega$ に対して $A\mapsto p(\omega,A)$ は $(\Omega,\mathcal{F})$ 上の確率測度である。
各 $A\in\mathcal{F}$ に対して $\omega\mapsto p(\omega,A)$ は $\mathcal{G}$ -可測である。
任意の $A\in\mathcal{F}$ , $B\in\mathcal{G}$ に対して $E_{P}[1_{A}1_{B}]=E_{P}[p(\cdot,A)1_{B}]$ が成り立つ。

このとき $p$ を $\mathcal{G}$ の下での $P$ の正則条件付確率と呼ぶ。また正則条件付確率 $p$ と $p'$ について任意の $\omega\in\Omega\setminus N$ 、 $A\in\mathcal{F}$ に対して $p(\omega,A)=p'(\omega,A)$ が成り立つとき正則条件付確率 $p$ は一意であるという。

定理1　上記の定義において $P$ を $(\mathbf{R},\mathcal{\mathcal{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}})$ 上の確率測度、 $\mathcal{G}$ を $\mathcal{F}$ の部分 $\sigma$ -加法族とすると正則条件付確率が存在し一意である。

証明　条件付期待値の単調性より $q\lt q^{\prime}$ である $q$ , $q^{\prime}\in\mathbf{Q}$ に対して $P$ -零集合 $N_{q,q^{\prime}}\in\mathcal{\mathcal{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}}$ が存在して $\omega\in\mathbf{R}\setminus N_{q,q^{\prime}}$ のとき\begin{equation}E_{P}[1_{(-\infty,q]}|\mathcal{G}](\omega)\le E_{P}[1_{(-\infty,q^{\prime}]}|\mathcal{G}](\omega).\label{eq:RCP:existence_for_R:inequality_of_CE}\end{equation}

また条件付期待値に関する単調収束定理より $q\in\mathbf{Q}$ に対して $P$ -零集合 $N_{q}\in\mathcal{\mathcal{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}}$ が存在し $\omega\in\mathbf{R}\setminus N_{q}$ のとき\begin{equation}\lim_{q\to-\infty}E_{P}[1_{(-\infty,q]}|\mathcal{G}](\omega)=0,\quad\lim_{q\to\infty}E_{P}[1_{(-\infty,q]}|\mathcal{G}](\omega)=1.\label{eq:RCP:existence_for_R:limit_of_CE}\end{equation}が成り立つ。

\begin{equation*} N:=\left(\bigcup_{q,q^{\prime}\in\mathbf{Q}}N_{q,q^{\prime}}\right)\cup\left(\bigcup_{q^{\prime\prime}\in\mathbf{Q}}N_{q^{\prime\prime}}\right) \end{equation*}

とすると $N$ は(零集合の可算和であるから)零集合で $\omega\in\mathbf{R}\setminus N$ のとき\eqref{eq:RCP:existence_for_R:inequality_of_CE}、\eqref{eq:RCP:existence_for_R:limit_of_CE}を満たす。

関数 $F:\mathbf{R}\times\mathcal{\mathcal{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}}\to[0,1$ ] を

\begin{equation*} F(\omega,r):=\begin{cases} \inf\left\{ E_{P}[1_{(-\infty,q]}|\mathcal{G}](\omega)\,\big|\,r<q,\,q\in\mathbf{Q}\right\} , & \omega\in\mathbf{R}\setminus N\\ 0, & \omega\in N \end{cases} \end{equation*}

と定義すると $\omega\in\mathbf{R}\setminus N$ に対して $\mathcal{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}$ 上の確率測度 $p(\omega,\cdot)$ で\begin{equation*}p(\omega,(-\infty,r])=F(\omega,r),\quad r\in\mathbf{R}\end{equation*}を満たすものが存在する。特に $q\in\mathbf{Q}$ , $\omega\in\mathbf{R}\setminus N$ に対して次式が成り立つ：\begin{equation*}p(\omega,(-\infty,q])=F(\omega,q)=E_{P}[1_{(-\infty,q]}|\mathcal{G}](\omega).\end{equation*}

ここで任意の $r\in\mathbf{R}$ に対して $q_{n}\searrow r$ となる $\{q_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathbf{Q}$ を取れば条件付期待値に対する単調収束定理により $\omega\in\mathbf{R}\setminus N$ に対して \begin{equation} \begin{split}p(\omega,(-\infty,r]) & =\lim_{n\to\infty}p(\omega,(-\infty,q_{n}])\\ & =\lim_{n\to\infty}E_{P}[1_{(-\infty,q_{n}]}|\mathcal{G}](\omega)=E_{P}[1_{(-\infty,r]}|\mathcal{G}](\omega). \end{split}\label{eq:RCP:existence_for_R:val_of_p} \end{equation}

ところで $\mathcal{P}:=\{\mathbf{R}\}\cup\{(-\infty,r]\,|\,r\in\mathbf{R}\}$ とすると $\mathcal{P}$ は $\pi$ -系であり、任意の $(-\infty,r]\in\mathcal{P}$ に対して \eqref{eq:RCP:existence_for_R:val_of_p} が成り立つ。よってディンキンの $\pi$ - $\lambda$ 定理により $\omega\in\mathbf{R}\setminus N$ , $A\in\mathcal{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}$ に対して $p(\omega,A)=E_{P}[1_{A}|\mathcal{G}](\omega)$ が成り立つ。（証明終）

集合としての濃度が等しい2つの標準可測空間は可測空間として同型であることに注意をすれば定理1は次の様に一般化されます。

定理2　 $(\Omega,\mathcal{F})$ を標準可測空間、 $P$ を $(\Omega,\mathcal{F})$ 上の確率測度、 $\mathcal{G}$ を $\mathcal{F}$ の部分 $\sigma$ -加法族とすると正則条件付確率が存在し一意である。

証明　 $\Omega$ を非可算集合とする。このとき標準可測空間 $(\Omega,\mathcal{F})$ は $(\mathbf{R},\mathcal{\mathcal{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}})$ と可測同型である。 $(\Omega,\mathcal{F})$ と $(\mathbf{R},\mathcal{\mathcal{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}})$ の間の同型対応を与える写像を $\varphi:\Omega\to\mathbf{R}$ とすると、 $\varphi$ により $(\mathbf{R},\mathcal{\mathcal{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}})$ 上の確率測度 $P^{\prime}:=P\circ\varphi^{-1}$ 、 $\mathcal{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}$ の部分 $\sigma$ -加法族 $\mathcal{G}^{\prime}:=\{\varphi(A)\,|\,A\in\mathcal{G}\}$ が定まる。さらに定理1より $\mathcal{G}^{\prime}$ の下での $P^{\prime}$ の正則条件付確率 $p^{\prime}:\mathbf{R}\times\mathcal{\mathcal{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}}\to[0,1$ ] が一意に存在する。いま $p:\Omega\times\mathcal{F}\to[0,1$ ] を