テンソルの具体的表現 - 数学、ときどき統計、ところによりＩＴ

テンソル積は同型を除いて唯１つに決まりますが、この「同型を除いて」というのが曲者で、一見すると別物なのに同じものを表している、ということが起こります。これがテンソルの実態を掴みにくくしている理由の１つになっています。今回はその点について詳しく見ていきたいと思います。

双線型汎関数としてのテンソル

定理　 $V$ と $W$ を有限次元線型空間として、線型空間 $T$ を

$T:=\mathrm{Bilin}(V^{*}\times W^{*},\mathbf{R}),$

双線型写像 $\kappa:V\times W\to T$ を

$\kappa(v,w)(F,G):=F(v)G(w),\,\,F\in V^{*},\,G\in W^{*}$

で定義すると $(T,\kappa)$ は $V$ と $W$ のテンソル積である。

証明　 $\dim V=m$ 、 $\dim W=n$ とおく。 $T$ について

$T=\mathrm{L.h.}\left[\{\kappa(v,w)\,|\,v\in V,\,w\in W\}\right]$

が成り立つ。実際、 $V$ 、 $W$ の任意の基底をそれぞれ $\{a_i\}_{i=1}^{m}$ 、 $\{b_j\}_{j=1}^{n}$ とし、さらにその双対基底をそれぞれ $\{a_{i}^{*}\}_{i=1}^{m}$ 、 $\{b_{j}^{*}\}_{j=1}^{n}$ とすると任意の $F\in V^{*}$ 、 $G\in W^{*}$ は

$F=\displaystyle \sum_{i}F_{i}a_{i}^{*},\,\,G=\sum_{j}G_{j}b_{j}^{*}\quad(F_{i},\,G_{j}\in\mathbf{R})$

と書くことが出来るから、

$\kappa(a_{i},b_{j})(F,G)=F(a_{i})G(b_{j})=F_{i}G_{j}.$

よって任意の $\phi\in T$ に対して\begin{equation*}\begin{split}\phi(F,G) & =\phi\left(\sum_{i}F_{i}a_{i}^{*},\,\sum_{j}G_{j}b_{j}^{*}\right)\\& =\sum_{i,j}F_{i}G_{j}\phi(a_{i}^{*},b_{j}^{*})\\& =\sum_{i,j}\kappa(a_{i},b_{j})(F,G)\cdot\phi(a_{i}^{*},b_{j}^{*})\\&=\left(\sum_{i,j}\phi(a_{i}^{*},b_{j}^{*})\kappa(a_{i},b_{j})\right)(F,G)\end{split}\end{equation*}となり $\kappa(v,w)$ の線型和で書ける。

次に $U$ を線型空間、 $\Phi_{U}\in\mathrm{Bilin}(V\times W,U)$ とする。このとき $f_{U}\in\mathrm{Lin}(T,U)$ を

$f_{U}(\phi):=\displaystyle \sum_{i,j}\phi(a_{i}^{*},b_{j}^{*})\Phi_{U}(a_{i},b_{j}),\,\,\phi\in T$

と定義すると、 $f_{U}$ はwell-definedである。つまり $f_{U}$ は基底 $\{a_i\}_{i=1}^{m}$ 、 $\{b_j\}_{j=1}^{n}$ の取り方に依存しないことが示せる。

$\phi=\kappa(v,w),\, \displaystyle v=\sum_{i}v_{i}a_{i},\,w=\sum_{j}w_{j}b_{j}$

に対して

$\phi(a_{i}^{*},b_{j}^{*})=\kappa(v,w)(a_{i}^{*},b_{j}^{*})=a_{i}^{*}(v)b_{j}^{*}(w)=v_{i}w_{j}$

であるから

$\Phi_{U}(v,w)=\displaystyle \sum_{i,j}v_{i}w_{j}\Phi_{U}(a_{i},b_{j})=f_{U}(\kappa(v,w)),$

つまり図式\begin{equation*}\xymatrix{V\times W\ar[rd]_{\Phi_{U}}\ar[r]^{\kappa} & T\ar[d]^{f_{U}}\\ & U}\end{equation*}は可換になる。

$f_{U}$ の一意性を示す。

$\Phi_{U}=f_{U}\circ\kappa=f'_{U}\circ\kappa$

とすると\begin{align*}f_{U}(\phi) & =\sum_{i,j}\phi(a_{i}^{*},b_{j}^{*})\Phi_{U}(a_{i},b_{j})\\& =\sum_{i,j}\phi(a_{i}^{*},b_{j}^{*})(f\,'_{U}\circ\kappa)(a_{i},b_{j})\\& =f'_{U}\left(\sum_{i,j}\phi(a_{i}^{*},b_{j}^{*})\kappa(a_{i},b_{j})\right)\\& =f'_{U}(\phi).\end{align*}最後に $(T,\kappa)$ の一意性を示す。 $(T,\kappa)$ 、 $(T',\kappa')$ を $V$ と $W$ のテンソル積とする。このとき図式\begin{equation*}\xymatrix{V\times W\ar[rd]_{\kappa'}\ar[r]^{\kappa} & T\ar[d]^{f}\\ & T'}
\end{equation*}を可換にする、つまり $\kappa'=f\circ\kappa$ を満たす $f\in\mathrm{Lin}(T,T')$ がただ１つ存在する。同様に図式
\begin{equation*}\xymatrix{V\times W\ar[rd]_{\kappa}\ar[r]^{\kappa'} & T'\ar[d]^{f'}\\ & T}\end{equation*}を可換にする、つまり $\kappa=f'\circ\kappa'$ を満たす $f'\in\mathrm{Lin}(T',T)$ がただ１つ存在する。よって

$\kappa=f'\circ(f\circ\kappa)=(f'\circ f)\circ\kappa.$

一方、 $\kappa=\mathrm{id}_{T}\circ\kappa$ であるから一意性によって $f'\circ f=\mathrm{id}_{T}$ となる。同様に $f\circ f'=\mathrm{id}_{T'}$ も成り立つ。以上より $T$ と $T'$ は線型同型である。（証明終）

上記の定理は $\mathrm{Bilin}(V^{*}\times W^{*},\mathbf{R})$ が $V\otimes W$ の具体的表現の１つであることを示しています*1。

線型写像としてのテンソル

定理　 $V$ と $W$ を有限次元線型空間として、線型空間 $T$ を

$T:=\mathrm{Lin}(V^{*},W),$

双線型写像 $\kappa:V\times W\to T$ を

$\kappa(v,w)(F):=F(v)w,\,\,F\in V^{*}$

で定義すると $(T,\kappa)$ は $V$ と $W$ のテンソル積である。

証明　 $\dim V=m$ 、 $\dim W=n$ とおく。 $V$ 、 $W$ の任意の基底をそれぞれ $\{a_i\}_{i=1}^{m}$ 、 $\{b_j\}_{j=1}^{n}$ とし、さらにその双対基底をそれぞれ $\{a_{i}^{*}\}_{i=1}^{m}$ 、 $\{b_{j}^{*}\}_{j=1}^{n}$ とする。このとき任意の $\phi\in T$ が

$\phi=\displaystyle \sum_{i,j} b_{j}^{*}(\phi(a_{i}^{*}))\kappa(a_{i},b_{j})$

と書けることに注意する。任意の線型空間 $U$ と $\Phi_{U}\in\mathrm{Bilin}(V\times W,\mathbf{R})$ に対して $f_{U}\in\mathrm{Lin}(T,U)$ を

$f_{U}(\phi):=\displaystyle \sum_{i,j} b_{j}^{*}(\phi(a_{i}^{*}))\Phi_{U}(a_{i},b_{j})$

と定義すると $f_{U}$ はwell-definedである、つまり $f_{U}$ は基底 $\{a_i\}_{i=1}^{m}$ 、 $\{b_j\}_{j=1}^{n}$ の取り方に依存しないことが示せる。そして $f_{U}$ は $\Phi_{U}=f_{U}\circ\kappa$ を満たす唯１つの線型写像になっている。以上から $(T,\kappa)$ がテンソル積である。（証明終）

上記の定理から $\mathrm{Lin}(V^{*},W)$ もテンソル積 $V\otimes W$ の具体的な表現の１つであることが分かります。

こうして実体としては１つのテンソルが複数の表現を取ることを見ました。応用の場面では、議論を円滑に進める為にこの性質がしばしば用いられます*2。

*1:同時にテンソルの存在定理の証明にもなっています。

*2:例えばひずみテンソルや応力テンソル、およびそれらを結びつける弾性係数テンソルに関する議論の中で見ることが出来ます。