応力テンソル - 数学、ときどき統計、ところによりＩＴ

物体に働く力は大きく分けて２種類あります。一つは物質に直接働く重力や電磁気力などの体積力、もう一つは物質の境界を通じて働く力である面積力です。今回は面積力である応力テンソルを取り上げたいと思います。

応力テンソルの定義

定義　 $(E,V)$ を３次元ユークリッド空間*1、 $M\subset E$ を開部分集合とする。いま点 $P\in M$ において面分 $a\wedge b\in V^{\wedge2}$ （ $a,\,b\in V$ は $a\wedge b\neq 0$ を満たす、つまり平行ではないとする）を通じて力 $F\in V$ が掛かっているとき、点 $P\in M$ における応力を $(a\wedge b)\otimes F$ で与える。ただし内積線型空間としての自然同型 $V\cong V^{*}$ による同一視の下、 $(a\wedge b)\otimes F\in(V^{*})^{\wedge2}\otimes V^{*}$ と見做す。従って応力は共変テンソル場 $C^{\infty}(M,\,(V^{*})^{\wedge2}\otimes V^{*})$ の要素である。

応力を反変テンソル場 $C^{\infty}(M,\,V^{\wedge2}\otimes V)$ ではなく共変テンソル場 $C^{\infty}(M,\,(V^{*})^{\wedge2}\otimes V^{*})$ で考えるのは、応力に関する具体的な計算に古典的なベクトル解析ではなく微分形式の理論を使うためです。

力のつり合い

$M\subset E$ に働く応力と体積力のつり合いを考えます。

はじめに応力について考えます。 $\sigma\in C^{\infty}(M,\,(V^{*})^{\wedge2}\otimes V^{*})$ を応力テンソル場、 $(x_{1,}x_{2},x_{3})$ を $M$ における直交座標とするとき、 $\sigma$ は

$\displaystyle \sigma (P)=\sum_{i,j}\sigma_{ij}(P)\cdot*(dx_{i})_{P}\otimes (dx_{j})_{P}$

と表されます。ここで $(dx_{i})_{P}$ のホッジ作用素 $*$ による像 $*(dx_{i})_{P}\in(V^{*})^{\wedge2}$ は力が作用する作用面を表しています。また $(dx_{j})_{P}$ は力の方向を表します。

各面分 $*(dx_{i})_{P}$ に働く応力 $\sum_{j}\sigma_{ij}(P)\,(dx_{j})_{P}$ の $n\in V$ 方向成分は $\left\langle \,\sum_{j}\sigma_{ij}(P)\,(dx_{j})_{P},\,n\,\right\rangle$ なので、 $P\in M$ における全ての面に関する応力の $n$ 方向成分は

$\displaystyle \sum_{i}\left\langle \,\sum_{j}\sigma_{ij}(P)\,(dx_{j})_{P},\,n\,\right\rangle \cdot*(dx_{i})=\sigma(P)\cdot n$

と書くことが出来ます。ただし右辺は特定の座標に依存しない式であり、 $(V^{*})^{\wedge2}\otimes V^{*}\cong \mathrm{Lin} (V,(V^{*})^{\wedge2})$ という同一視により $\sigma(P)$ を $\mathrm{Lin}(V,(V^{*})^{\wedge2})$ の元と見做しています。

よって $X\in M$ を中心とした半径 $\delta \gt 0$ の球形の領域 $U_{\delta}(X)$ に掛かる応力の $n$ 方向成分は、２形式の積分

$\displaystyle \displaystyle \int_{\partial U_{\delta}(X)}\sigma\cdot n$

で表されます。

次に体積力について考えます。 $F\in C^{\infty}(M,V^{*})$ を力の１形式とすると、 $\left\langle F,n\right\rangle \in C^{\infty}(M)$ が $F$ の $n\in V$ 方向成分なので体積要素に掛かる体積力は３形式 $*\left\langle F,n\right\rangle \in C^{\infty}(M,(V^{*})^{\wedge3})$ で与えられます*2。従って $U_{\delta}(X)$ に作用する体積力の $n$ 方向成分は

$\displaystyle \int_{U_{\delta}(X)}*\left\langle F,n\right\rangle$

と表されます。

ここで面積力と体積力のつり合いを以下で定義します。

定義　点 $X\in M$ に掛かる面積力と体積力がつり合うとは任意の $\delta \gt 0$ 、 $n\in V$ に対して次式が成り立つときを言う：

$\displaystyle \int_{\partial U_{\delta}(X)}\sigma\cdot n+\int_{U_{\delta}(X)}*\left\langle F,n\right\rangle =0.$

Gauss-Stokes の定理により上式は

$\displaystyle \int_{U_{\delta}(X)}\left(d(\sigma\cdot n)+*\left\langle F,n\right\rangle \right)=0$

となります。さらにこれが任意の $\delta\gt 0$ で成立するので、点 $X \in M$ で

$d(\sigma\cdot n)+*\left\langle F,n\right\rangle =0$

が成り立ちます。 $X$ は $M$ の任意の点より、上式は $M$ 上で成り立ちます。

ここで

$\displaystyle d(\sigma\cdot n) = \sum_{i,j}\left\langle dx_{j},\,n\right\rangle d\sigma_{ij}\wedge*(dx_{i})=*\left\langle \sum_{i,j}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}}dx_{j},\,n\right\rangle$

より、つり合いの式は座標を使って

$\displaystyle \left\langle \sum_{i,j}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}}dx_{j},\,n\right\rangle +\left\langle \sum_{j}F_{j}dx_{j},n\right\rangle =0$

と書くことが出来ます。さらに、これが任意の $n\in V$ で成り立つことから、

$\displaystyle \sum_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}}+F_{j}=0,\quad j=1,2,3$

となります。

*1:ユークリッド空間の定義はひずみテンソルの記事をご参照下さい。

*2: $dx_{1}\wedge dx_{2} \wedge dx_{3}$ は $*1$ に等しいことを利用しました。